Average Default Time
現時刻を \(t_0\) とする。あるreference creditの生存確率を、Poisson過程のintensity \(\lambda_i\) が区分的に一定だとして
\[ Q_{t_0}(t) = Q_{t_0}(t_i)\mathrm{e}^{-\lambda_i (t-t_i)}\; (t_i \le t \le t_{i+1}) \]
(\(i=0,\, 1,\ldots,\, Q_{t_0}(t_0)=1\)) とする。記号がうるさいので、以下、\(Q_{t_0}(t)\) を \(Q(t)\) と書くことにする。
『区間 \((t_i, t_{i+1}]\) でデフォルトがあった場合は、その中点 \(\overline{t}_{i} \coloneqq (t_i + t_{i+1}) / 2\) でデフォルトがあったと見做す』近似がよく見られるが、それは以下の理由に基づく。
デフォルト時刻 \(\tau\) について、\((t_i, t_{i+1}]\) でデフォルトがあったという条件付きでの期待値を計算してみると、
\[ \begin{align} \mathbb{E}\left[ \tau \mid t_i < \tau \le t_{i+1} \right] &= \frac{1}{Q(t_i)-Q(t_{i+1})} \int_{t=t_i}^{t_{i+1}} (-dQ(t)) \, t\\ &= \frac{1}{Q(t_i)\left( 1 - \mathrm{e}^{-\lambda_i (t_{i+1} - t_i)} \right)} \int_{t_i}^{t_{i+1}} dt \, Q(t_i) \lambda_i \mathrm{e}^{-\lambda_i (t-t_i)} t\\ &= \frac{1}{1 - \mathrm{e}^{-\lambda_i (t_{i+1} - t_i)}} \left( \left[ -e^{-\lambda_i (t-t_i)} t \right]_{t_i}^{t_{i+1}} + \int_{t_i}^{t_{i+1}} dt \, \mathrm{e}^{-\lambda_i (t-t_i)} \right)\\ &= \frac{1}{1 - \mathrm{e}^{-\lambda_i (t_{i+1} - t_i)}} \left[ -\mathrm{e}^{-\lambda_i (t_{i+1}-t_i)} t_{i+1} + t_i + \frac{1}{\lambda_i}\left(1 - \mathrm{e}^{-\lambda_i (t_{i+1}-t_i)} \right) \right]\\ &= t_i + \left( \frac{1}{\lambda_i (t_{i+1} - t_i)} - \frac{\mathrm{e}^{-\lambda_i (t_{i+1}-t_i)}}{1 - \mathrm{e}^{-\lambda_i (t_{i+1} - t_i)}} \right) (t_{i+1} - t_i)\\ &= t_i + \left( \frac{1}{\lambda_i T_i} - \frac{1}{\mathrm{e}^{\lambda_i T_i} - 1} \right) T_i \\ \end{align} \]
(\(T_i \coloneqq t_{i+1} - t_i\)) となる。\(g(x) \coloneqq \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\mathrm{e}^x - 1}\) を \(x=0\) の周りで展開すると \(g(x)= \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{12}x + \mathcal{O}(x^2)\) となり、\(\left|\lambda_i T_i\right| \ll 1\) のとき \(\mathbb{E}\left[ \tau \mid t_i < \tau \le t_{i+1} \right] \simeq \overline{t}_i\) となることが示された。
\(f(x) \coloneqq \dfrac{x}{\mathrm{e}^x-1} \left(=-xg(x)+1\right)\) はベルヌーイ数 (Bernoulli numbers) \(B_n\) の母関数である:
\[ f(x)=\frac{x}{\mathrm{e}^x-1}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{B_n}{n!}x^n. \]