Quantitative Finance

数理ファイナンスのノート。
特に断りがない場合、以下の仮定や記法に従うものとする。 (ここには、細かいことも神経質めに書いてみる。)

Assumption

現実のマーケットのダイナミクスと不確定性を、フィルター付き確率空間 (filtered probability space) \((\Omega,\, \mathcal{F},\, \mathbb{F}\coloneqq (\mathcal{F}_t)_{t\in [0, T]},\, \mathbb{P})\) でモデル化して考える。

Notation

• \(\mathbb{F}\)-適合な確率過程 \(X\) の型は \([0, T] \times \Omega \to \mathbb{R}\) であるが、それの部分適用\(X(t, \cdot)\colon \Omega \to \mathbb{R}\) を \(X_t\) と書くすることにする。一方、\(Y(t)\) と書いたときは、 \(Y\) はサンプル \(\omega\in\Omega\) に依らない、\([0, T] \to \mathbb{R}\) の関数を意図している。言い換えると、\(X_t\) は時刻 \(t\) で初めて確定する確率的な値で、\(Y(t)\) は時刻 \(0\) 時点で関数形を知っている確定的な値だという意図を記法に込めている。